Артър Кларк
Призракът от големите плитчини (20)

20. В М-множеството

Трудно е за вярване, каза си Джейсън Брадли, че хората преди няколко поколения наистина са живели така. Макар че замъкът Конрой беше скромен пример за този вид постройки, мащабите му бяха впечатляващи за всеки, който бе прекарал голяма част от живота си в мрачни канцеларии, стаи в крайпътни мотели, корабни каюти, да не говорим за дълбоководните миниподводници, така претъпкани, че личната хигиена на спътниците ти беше въпрос от първостепенно значение.

Трапезарията с изящно дърворезбован таван и огромни стенни огледала можеше да побере поне петдесет удобно настанени души, затова Доналд Крейг почувства необходимост да даде обяснение за малката четириместна маса, която самотно се губеше в средата:

— Нямахме време да купим подходящи мебели. Старините на замъка бяха в окаяно състояние и трябваше да бъдат изгорени. Но един ден, когато окончателно се установим като местни благородници…

Едит като че ли не одобряваше бъбривостта на съпруга си и Брадли отново доби впечатлението, че тя е главнокомандващият в това предприятие, докато Доналд бе нейният неохотен или в най-добрия случай пасивен съучастник. Можеше да се досети за сценария: хората с достатъчно пари, които да пропилеят за скъпи играчки, често откриваха, че ще бъдат по-добре без тях. А замъкът Конрой с всичките заобикалящи го декари земя и работници би трябвало да е наистина скъпа играчка.

Когато прислугата (прислуга! — ето още нещо отдавна забравено) раздигна остатъците от отличната китайска вечеря, докарана специално със самолет от Дъблин, Брадли и домакините му се оттеглиха в обзаведената с удобни кресла съседна стая.

— Няма да ви пуснем да си тръгнете — каза Доналд Крейг, — без да сме ви въвели напълно в теорията на М-множеството. Едит надушва непосветения в Манделманията от сто метра.

Брадли не можеше да се закълне, че разбира това определение. Най-сетне бе проумял странната форма на езерото, макар че бе забравил името му, преди да му го припомнят отново. През последното десетилетие на века беше просто невъзможно да се избегнат причудливите форми на Манделбротовото множество — те се появяваха непрекъснато по видеомонитори, тапети, тъкани и буквално върху всичко. Брадли си спомни, че някой бе изковал думата „Манделмания“ като описание на по-острите симптоми на това увлечение и бе започнал да разбира, че то може да се приложи с пълна сила и към обитателите на това старо имение. Все пак беше готов да проследи с учтив интерес подготвените от домакините му лекция или демонстрация.

Осъзна, че и те самите се опитват да бъдат учтиви по свой начин. Очакваха от него да обяви решението си.

Надяваше се единствено обаждането, което очакваше, да дойде, преди да е напуснал замъка…

Брадли не познаваше нито една амбициозна майка, макар че бе виждал примери във филми като — как се наричаше този, старият? — ах да, „Слава“. Героинята в него притежаваше същата страстна решителност детето и непременно да стане звезда, макар че то не проявяваше и следа от талант. В този случай обаче не се съмняваше, че амбициите са основателни.

— Преди Ейда да започне — обади се Едит, — бих искала да ви обясня нещо. М-множеството е най-сложното множество в математиката, но създаването му не включва нищо по-трудно от събиране и умножение; дори няма изваждане и деление! Ето защо много хора, които разбират от математика, трудно го приемат. Те просто не могат да повярват, че нещо толкова невероятно може да се получи без използването на логаритми, тригонометрични функции или елементи от висшата математика.

— И на мен ми се струва невъзможно. И все пак, ако е толкова просто, защо не са го открили преди няколко века?

— Много разумен въпрос. Защото се извършват толкова действия на събиране и умножение на огромни числа, че е трябвало човечеството да чака появата на мощни компютри. Представете си, ако бяха раздали сметала на Адам и Ева и на всичките им потомци до ден-днешен, те не биха могли да получат някои от образите, които Ейда ще ви покаже само с натискането на няколко клавиша. Хайде, миличка…

Холопрожекторът беше ловко скрит някъде, Брадли така и не разбра къде. Виж колко лесно е да се направи този замък обитаем от духове, помисли си той, така ще могат да прогонват досадниците.

Двете пресичащи се линии на обикновената х-у координатна система застинаха във въздуха с точките 0, 1, 2, 3, 4… изобразени в три измерения.

Ейда хвърли към Брадли един от онези объркващо прями погледи, които сякаш преценяваха коефициента му на интелигентност.

— Всяка точка от тази равнина — започна тя — може да бъде определена от две числа, x и y координатите. Нали така?

— Да — отвърна тържествено Брадли.

— М-множеството лежи в една много малка област; то не се простира отвъд плюс или минус 2 в двете посоки, така че можем да пренебрегнем по-големите стойности. Сега да вземем всяка точка от тази координатна система и да я съединим с центъра. Измерваме дължината на този радиус, да го наречем r…

Това, помисли отново Брадли, не представлява особено предизвикателство за умствените ми способности. Кога ли наистина ще стигнем до същността на фокуса?

— …очевидно е, че в нашия случай r може да приема всички стойности от 0 до малко под 3 — около 2,8, за да бъдем съвсем точни. Нали?

— Да.

— Добре. Сега: упражнение № 1. Да вземем стойността на което и да е r и да я повдигнем на квадрат. Продължаваме да я вдигаме на квадрат… Какво получаваме?

— Да не ти развалям удоволствието, Ейда.

— Ако приемем, че r=1, то стойността не се променя, независимо колко пъти го повдигаме на квадрат. Едно по едно, по едно, по едно е винаги равно на едно.

— Така.

— Ако стойността е дори малко по-голяма от единица, продължим ли да я степенуваме, рано или късно тя ще стигне до безкрайност. Това е вярно, даже когато r е равно на 1,000…00001 и има милион нули вдясно от десетичната точка. Е, ще ни отнеме малко повече време, но резултатът е все същият. Но ако числото е по-малко от 1, да речем 0,9999… и така един милион деветки, получаваме точно обратното. Колкото повече го вдигаме на квадрат, толкова повече то намалява и клони към 0. Нали така?

Брадли кимна мълчаливо с глава. Все още не можеше да схване смисъла на всички тези елементарни действия; несъмнено това трябваше да доведе до някъде.

— Лейди, престани да тормозиш господин Брадли! Накратко казано, вдигаме на квадрат числата, още веднъж и още веднъж, и така нататък, и това ги разделя на две ясно обособени множества.

Върху двете пресечени оси се бе появил кръг с център пресечната им точка.

— В този кръг се намират всички числа, които клонят към нула, когато ги повдигаме на квадрат. Извън него са онези стойности, които се доближават до безкрайност. Може да се каже, че кръгът с радиус 1 е граница, разделяща двете множества числа. Да наречем първото К-множество.

— „К“ като квадрат.

— Разбира… да. И тук идва същественият момент. Числата от двете страни са отчетливо разделени и макар през границата да не минава нито едно от тях, тя е лишена от плътност. Това е просто една крива. Можем да я увеличаваме колкото си искаме, тя ще си остане крива, която скоро ще заприлича на права линия.

— Дотук нищо вълнуващо — обади се Доналд, — Но това е много съществено… скоро ще разберете защо. Извинявай, Ейда.

— Сега. За да получим М-множеството, извършваме една съвсем мъничка промяна: вече не само повдигаме на квадрат числата, но ги и събираме, повдигаме на квадрат и събираме. Не си представяхте, че така ще се промени всичко, нали? Навлизаме в нова вселена. Да предположим, че започнем отново с 1. Вдигаме на квадрат и получаваме отново единица. Добавяме единица и получаваме 2. Две на квадрат е 4. Добавяме първоначалната единица и получаваме 5. Пет на квадрат е 25. Прибавяме едно и получаваме 26. 26 на квадрат е вече 676. Нали виждате какво става! Числата растат с фантастична скорост. Като ги завъртим още няколко пъти, няма да може да се борави с тях. А всичко започна от 1! Ето това е първата огромна разлика между М-множеството и К-множеството, чиято граница е 1. Досещате се навярно какво става, ако започнем с много по-малки числа, да речем с 0,1…

— След няколко пъти повдигане на квадрат и събиране числото ще започне да клони към 0…

Ейда се усмихна със своята рядка, но ослепителна усмивка.

— Обикновено става така. Понякога резултатът се колебае около една малка, фиксирана стойност — всъщност остава уловен в клопката на К-множеството. Така отново получаваме карта, която разделя всички числа в равнината на два класа. Само че този път границата не е толкова проста фигура като кръга.

— Сега го повтори отново — измърмори Доналд. Срещна намръщения поглед на Едит, но продължи: — Питал съм немалко хора каква форма очакват да се получи. Повечето очакваха някаква овална фигура. Но никой не успяваше да стигне до истината. Добре, добре, Лейди, няма да прекъсвам повече Ейда.

— Ето първото приближение — продължи Ейда, като грабна гръмогласното си лаещо кученце с една ръка и натисна няколко клавиша с другата. — Да сте виждали това някъде днес?

Познатите вече очертания на езерото Манделброт се бяха появили върху координатната система, но в много по-детайлизиран вид в сравнение с видяното в парка до замъка. Вдясно беше най-голямата сърцевидна фигура, после едно малко кръгче, долепено до нея, едно още по-малко и тесният канал, простиращ се към най-лявата точка и завършващ на –2 върху абцисата.

Сега Брадли забеляза, че основните фигури са обгърнати — това беше метафората, която дойде веднага в съзнанието му — от множество по-малки, второстепенни кръгчета, голяма част от които с нащърбени краища. Формата бе далеч по-сложна от езерата в парка — странна и вълнуваща, но в никакъв случай красива. Едит и Ейда обаче я гледаха с нещо като страхопочитание, което Доналд като че ли не споделяше напълно.

— Това е цялото множество, без увеличение — каза Ейда с глас, който звучеше вече не така уверено. — Но дори при този мащаб можете да видите колко е различно от простия, почти безплътен кръг, определящ К-множеството. Очертанията на М-множеството са неясни и съдържат безкрайно много детайли. Човек може да влезе където поиска и да го увеличава колкото си иска и винаги ще открива нещо ново и неочаквано. Вижте!

Образът се разшири; проникваха в тунела между главната кардиоида и допиращия се до нея кръг. На Брадли му заприлича на цип, който се отваря, само че зъбите на ципа имаха най-чудновати форми. Отначало напомняха на малки слончета, размахващи миниатюрни хоботи. След това хоботите прераснаха в пипала, след това — в изпъкнали очи. С уголемяването на образа очите се превърнаха в безкрайно дълбоки водовъртежи.

— Сега увеличението е няколко милиона пъти прошепна Едит. — Образът, който сме заложили, е вече по-голям от Европа.

Минаха през езерата, докосвайки се до загадъчни острови, оградени от коралови рифове, флотилии от морски кончета заплуваха в тържествена процесия. Точно в центъра на екрана се появи едва забележима черна точка, която се разду и прие познатите вече очертания. След няколко секунди на мястото й вече стоеше точното копие на оригиналното Множество.

Ето какво се получи най-сетне — помисли си Брадли. Но дали? Не можеше да бъде съвсем сигурен; сякаш имаше малки различия, но родовите прилики с Множеството бяха несъмнени.

— Оригиналният ни образ сега — продължи Ейда има размерите на Марс, а това минимножество тук е в действителност по-малко от атома. Но около него има точно толкова детайли. И така — до безкрай.

Генерирането на образи престана; за миг сложната дантела от примки и мотиви, които грабваха окото, застина в неподвижното пространство. След това сякаш бе разпиляна цветна палитра — монохромният образ избухна в цветове така неочаквано и така ослепително красиво, че Брадли възкликна от изненада.

Образите подновиха своя ход по екрана, този път в обратен ред и в една микровселена, трансформирана вече в цветове. Никой не произнесе и дума, преди да се върнат към оригиналното М-множество, сега в зловещо черно, обрамчено с тесен бордюр от златистоогнено, хвърлящ светкавици от синьо и пурпурно.

— Но откъде се взеха всичките тези цветове? — запита Брадли, когато най-сетне възвърна дъха си. — Не ги видяхме в началото.

Ейда отново се засмя:

— Не, те не са част от множеството, но нима не са прекрасни? Мога да накарам компютъра си да ги променя колкото си искам.

— Макар че цветовете са съвсем произволни обясни Едит, — те имат своето значение. Нали знаете как картографите слагат нюанси от синьо и зелено между контурите от линии, за да обозначат разликата във височините.

— Разбира се, същото се прави и в океанографията. Колкото по-тъмно е синьото, толкова по-голяма е дълбочината.

— Точно така. В нашия случай цветовете ни говорят колко пъти компютърът е преминал през цикъла, преди да определи дали дадено число наистина принадлежи към М-множеството. В граничните случаи му се налага да изпълнява подпрограмите за степенуване и събиране хиляди пъти.

— При това често със стоцифрени числа — добави Доналд. — Сега нали разбирате защо множеството не е открито по-рано?

— Причината е ясна.

— Вижте и това — обади се Ейда.

Образът оживя отново, докато вълните от цвят запреливаха отвъд него. Сякаш очертанията на самото множество непрекъснато се разширяваха, но оставаха все на същото място. Внезапно Брадли осъзна, че в действителност нищо не се движи; само цветовете обикаляха около спектъра и така създаваха тази напълно убедителна илюзия за движение.

Започвам да разбирам, мислеше си Брадли, как човек може да се оплете във всичко това, дори да го превърне в начин на живот.

— Почти съм сигурен — каза най-сетне, — че съм виждал тази програма в списъка на файловете в моя компютър наред с няколко хиляди други. Истински щастливец съм, че никога не съм я отварял. Сега виждам как човек може да се вживее в нея.

Забеляза, че Доналд бързо погледна към Едит, и осъзна, че е направил нетактична забележка. Но Едит беше погълната от хода на цветовете върху екрана, макар че навярно безброй пъти бе наблюдавала точно този образ.

— Ейда — каза тя замечтано, — кажи на господин Брадли любимия ни цитат от Айнщайн.

Като че ли прекалено изискване за деветгодишно момиченце — помисли си отново Брадли. Но Ейда не прояви и следа от колебание, а в гласа й не се забеляза и частица от механично повторение на добре заучена фраза. Разбираше добре значението на думите, които произнесе от сърце:

— „Най-красивото нещо, което можем да изпитаме някога, е загадъчното. То е източник на истинското изкуство и науката. Този, на когото това чувство е чуждо, който вече не е способен да постои в почуда, е като мъртвец.“

Трябва да запомня това — отбеляза си Брадли. Припомни си спокойните нощи в Тихия океан с обсипано от звезди небе и трепкащи следи от загадъчна биосветлина зад кораба, първите срещи с разнообразните форми на живот — толкова чужди, сякаш идващи от друга планета, или изсипани от някакъв чуден рог на изобилието сред океанския простор край Галапагос, където се разделяха континентите. Надяваше се, че ще изпита отново почуда и удивление, когато огромният, остър като нож нос на „Титаник“ излезе от океанските бездни.

Танцът на цветовете престана; М-множеството избледня. Въпреки че всичко бе сякаш нереално, той усети, че холопрожекторът бе изключен.

— Сега — обади се Доналд — знаете повече за множеството на Манделброт, отколкото искахте да знаете. — Той погледна бързо към Едит и Брадли отново изпита съчувствие към него. Това не беше усещането, което бе очаквал от идването си в замъка Конрой: завист би била по-подходящата дума. Пред него стоеше човек с богатство, красива къща, талантливо семейство всички съставки, необходими да осигурят щастието му. И все пак очевидно нещо не беше наред. От колко ли време не бяха спали заедно? Можеше дори тази да е простата причина, макар че това, разбира се, рядко беше единствената причина.

Отново погледна часовника си; навярно двамата Крейг смятаха, че нарочно отбягва темата. И бяха съвършено прави. Хайде, побързайте, господин Генерален директор.

Сякаш по поръчка усети познатото бръмчене на китката си.

— Извинете ме — каза на домакините си. — Разговорът е важен. Ще ми отнеме не повече от минута.

— Разбира се, ще ви оставим да си проведете разговора.

Колко ли милиона пъти на ден се изпълняваше този ритуал на учтивост! Етикетът налагаше всички да напуснат стаята, когато постъпеше обаждане; възпитанието изискваше да остане единствено търсеният по телефона, който се извиняваше на всички останали. Тази сцена имаше безброй варианти в зависимост от обстоятелствата и националността. В Япония, както често се оплакваше Като, формалните извинения траеха толкова дълго, че обаждащият се често губеше търпение и затваряше.

— Съжалявам, че ви прекъснах — извини се отново Брадли, когато се присъедини към другите. — Беше във връзка с нашата работа. Не можех да потвърдя окончателно преди този разговор.

— Надявам се, че резултатът е благоприятен — каза Доналд Крейг.

— Аз бих се радвал да работя с вас, но…

— …Предложението на Парки е по-добро, нали? — прекъсна го Едит със зле прикрито презрение.

Брадли я изгледа спокойно и отговори без злоба:

— Не, госпожо Крейг. Моля ви да бъдете дискретни. Предложението на Групировката „Паркинсън“ беше наистина щедро, но два пъти по-скромно от вашето. А това, което току-що ми направиха, не носи и една десета от него. И въпреки това, ще го обмисля сериозно.

Настъпи отново неловко мълчание, нарушено от нехарактерното за Ейда изхилване.

— Трябва да сте безумец — каза Едит.

Доналд само се усмихна.

— Може би сте права. Не съм стигнал до онзи етап, когато да не са ми нужни пари. Добре е да ги имаш. — Брадли замълча и се засмя. — Всъщност какво означава да имаш достатъчно? Не зная дали сте чували остроумната забележка на Астор, най-известния човек сред загиналите на „Титаник“: „Човек, който притежава един милион, е точно толкова заможен, колкото и този, който е богат.“ Спечелил съм няколко милиона през кариерата си, част от тях са все още в банката. Като че ли повече не са ми нужни, а ако ми потрябват, винаги мога да сляза на дъното и да погъделичкам някой октопод. Но ето нещо, което не бях предвидил. Точно преди два дни бях решил да приема предложението ви.

Едит го гледаше по-скоро учудено, отколкото враждебно:

— Бихте ли ни казали все пак кой успя да измести предложението на „Нипон-Търнър“?

Брадли поклати глава:

— Дайте ми малко време. Съществуват известни проблеми, а не ми се иска да падам от два стола на земята.

— Мисля, че разбирам — намеси се Доналд. — Има само една причина човек да работи за грошове. Всеки дължи нещо на професията си.

— Това ми звучи като цитат отнякъде.

— Да, от д-р Джонсън.

— Харесва ми. Може би ще го използвам през следващите седмици. Междувременно, преди да взема окончателно решение, трябва ми малко време да обмисля нещата. Отново ви благодаря за гостоприемството, както и за предложението. Все още мисля, че мога да го приема, но дори и да откажа, надявам се да останем приятели.

Докато Брадли се издигаше над замъка, въздушната вълна от хеликоптера раздвижи водите на езерото Манделброт и замъгли отражението на кипарисите в него. Брадли обмисляше най-големия пробив в кариерата си и преди да вземе окончателно решение, се нуждаеше от пълно отпускане.

Знаеше точно как да го постигне.