Айзък Азимов
Гравитационната гибел на вселената (6) (Колапсиращата вселена или историята на черните дупки)

Земята

Първа следа по пътя към черните дупки бе определянето на масата на Земята чрез гравитационната й сила (въпреки че тогава никой не е и сънувал черни дупки).

Нютон определи, че интензитетът на гравитационното поле, създавано от който и да е обект, е пропорционален на неговата маса. В действителност това е още един начин за дефиниране на масата като свойство на материята да поражда гравитационно поле.

По̀ преди в тази книга ние вече дефинирахме що е маса по друг начин. Описахме я като свойство на материята, свързано с определена действуваща върху дадено тяло сила, за да бъде променена било скоростта, било посоката, било и двете на това тяло. Колкото по-голяма е силата, необходима за извършването на такава промяна, толкова по-голяма е масата на тялото, към което се прилага силата.

Масата, която се дефинира по новия начин, понякога се нарича гравитационна маса. А масата, която се дефинира чрез съпротивата на материята при опит да променим характера на движението й — свойство, познато като инерция, се нарича инертна маса. По всичко изглежда, че гравитацията и инерцията са две напълно различни свойства на материята. Няма видими причини да предполагаме, че двата вида маса ще съвпадат напълно, макар че ако дадена маса има двойно по-голяма инерция от друга, тя има също и два пъти по-силно гравитационно поле. Въпреки всичко, изглежда, това е пътят, който трябва да следваме. Никой досега не е успял да докаже каквато и да е разлика между гравитационната и инертната маса, затова сега те се смятат за идентични.

Така например гравитационното поле на Земята упражнява определена сила върху падащите тела и те променят движението си — ускоряват се и падат все по-бързо. Тъй като инертната и гравитационната маси са едно и също нещо, ще предположим, че увеличаването на скоростта на падащото тяло може да се използува, за да се измери земната гравитация.

Гравитационното ускорение за пръв път бе измерено през 1590 г. от италианския учен Галилео Галилей (1564–1642). То е равно на 980 сантиметра за секунда на секунда (или 980 cm/s²). Това означава, че всяка секунда падащото тяло се движи със скорост 980 cm/s по-бързо от предишната секунда.

Сега нека се върнем към уравнението на Нютон:

F = Gmm^’ / d² (8)

Където F е гравитационната сила, определяща стойността на ускорението на падащото тяло, която, както казахме, е била известна отдавна. G е гравитационната константа, m е масата на падащото тяло, m’ е масата на Земята, а d е разстоянието между падащото тяло и Земята. Това, което сега ни интересува в уравнението, е масата на Земята. Затова нека го преобразуваме, като чрез добре известните алгебрични похвати прехвърлим m’ отляво на уравнението. То ще придобива вида:

m^’ = Fd² / Gm (9)

Ако са ни известни стойностите за величините от дясната страна на уравнението, можем да умножим стойността на F със стойността на d, да умножим произведението отново на d, да разделим резултата на G и после на m — това ще даде търсената стойност на m’ — масата на Земята.

Наистина, това изглежда гениално просто, понеже имаме стойността на F, с която трябва да започнем. Имаме също и стойността на m — масата на падащото тяло, понеже можем да я измерим в грамове.

Определянето на разстоянието между падащото тяло и Земята е малко по-сложна работа. Нютон показа, че когато едно тяло създава гравитационно поле, то това поле се държи така, като че ли е създадено от цялата маса на тялото, съсредоточена в неговия гравитационен център. Когато тялото има форма и свойства, които отговарят на някои условия на симетрията, гравитационният център съвпада с геометричния център на тялото. Тези условия на симетрия се изпълняват за Земята и за всички тела с по-съществени размери, които ние познаваме във Вселената.

Това означава, че Земята действува върху другите тела така, сякаш нейното гравитационно поле се генерира от нейния център и тогава d ще бъде разстоянието от падащото тяло до центъра на Земята, а не до повърхността й. Ако падащото тяло е близо до земната повърхност, то търсеното разстояние е равно на радиуса на земното кълбо.

Този радиус за първи път е бил определен от гръцкия географ Ератостен (276–192 пр.н.е.) през 240 година пр.н.е. Той получил размерите на земното кълбо от кривината на неговата повърхност, а нея определил чрез измерване на ъглите, които сключват падащите слънчеви лъчи с различните части на земната повърхност по едно и също време. Радиусът (т.е. разстоянието от повърхността на Земята до нейния център) е 637 000 000 cm.

Така вече имаме стойностите на F, m и d, но до 1700 г. нямахме стойност за G, а докато няма стойност за G, не може да се използува уравнение (9), за да се изчисли масата на Земята m’.

Има ли някакъв начин да се определи G?

Да. Ако G наистина е универсална константа, нека да измерим интензитета на гравитационното поле между две оловни топки, като за тази цел използуваме уравнение (8) в друг вид. Чрез алгебрични преобразования получаваме:

Gm = Fd² / mm^’ (10)

Можем лесно да измерим масата на всяка една от оловните топки и ще получим стойностите на m и m’. Можем да измерим също така и разстоянието d между тях. Ако измерим и гравитационната сила между тях (т.е. получим F), ще решим уравнението за G веднага. Тогава ще можем да заместим стойността за G в уравнение (9) и ще получим масата на Земята.

Има обаче един капан. Гравитационните сили са така неимоверно слаби, че са нужни обекти с масата на Земята, за да получим достатъчно силни и лесно измерими гравитационни полета. Преди да започнем да боравим с обекти, достатъчно малки, за да се поместят в обикновени лаборатории, трябва да имаме някакво устройство, способно да измерва изключително малки сили.

Необходимото устройство се появи с изобретената от Кулон през 1777 г. торзионна везна (той е авторът на приведеното по-горе уравнение (4)). С тази везна могат да се измерват малки сили по усукването на връвчица или жица, което те предизвикват. За да се регистрира това усукване, трябва към вертикалната жица да се прикрепи дълъг хоризонтален лост, уравновесен в центъра си. Даже малко едва забележимо усукване ще задвижи осезаемо края на лоста. Ако усуканата жица е достатъчно тънка, а прикрепеният лост — достатъчно дълъг, ние ще можем да измерим усукването, породено от изключително малките гравитационни полета на обектите с нормални размери.

Жицата, както сами разбирате, е еластична, така че в нея се поражда сила, която се стреми да я върне в неусукано състояние. Колкото по-голямо е усукването, толкова по-голяма е и силата на противодействие. Ако противодействуващата сила се изравни със силата на усукване, то лостът заема ново равновесно положение. Ако измерим степента на усукване на жицата, когато лостът е заел новото равновесно положение, ще определим големината на действуващата сила.

През 1798 г. английският химик Хенри Кавендиш (1731–1810) провел експеримент, който се състои в следното. Той взел един лост с дължина 180 cm с две 5-сантиметрови оловни топки, разположени в краищата му. После го окачил на тънка жица, закрепена в центъра му.

По-нататък Кавендиш окачил голяма оловна топка с диаметър малко над 20 сантиметра до малката топка в единия край на лоста. Той окачил друга такава топка до малката топка в противоположната страна на лоста. Гравитацията на големите оловни топки ще привлича малките топки и ще усуче жицата до някакво ново равновесно положение. Измервайки промяната на положението, Кавендиш регистрирал извънредно слабото гравитационно привличане между оловните топки. (Естествено, Кавендиш затворил всичкото това в кутия и взел предпазни мерки, за да избегне влиянието на въздушните течения върху жицата.)

Кавендиш повтарял експеримента отново и отново, докато не получил удовлетворителен резултат за гравитационната сила F. И тъй като нямал проблеми с измерването на масите на оловните топки и на разстоянията между тях, той веднага определил m, m’ и d. Уравнение (10) вече можело да бъде решено спрямо G и Кавендиш направил това.

Използувайки усъвършенствувани варианти, на експеримента на Кавендиш, ние сега знаем, че масата на Земята е 5,983 X 10²⁷ g, или грубо 6000 трилион трилиона грама.

Плътността на всяко тяло можем да определим чрез отношението между масата и обема му. Обемът на Земята бил изчислен достатъчно точно на базата на получената от Ератостен стойност за обиколката на Земята. Знаейки вече масата на Земята, Кавендиш могъл веднага да определи нейната средна плътност. Получило се 5,52 g/cm³.